a
,
b
為非零不共線向量,定義
a
×
b
為一個向量,其大小為|
a
||
b
|sin<
a
b
>,方向與
a
b
都垂直,且
a
b
,
a
×
b
的方向依次構(gòu)成右手系(即右手拇指,食指分別代表
a
b
的方向,中指與拇指、食指的平面垂直且指向掌心代表
a
×
b
的方向),則下列說法中正確結(jié)論的序號有
 

①(
a
×
b
)•
a
=0
②(
a
×
b
)×
c
=
a
×(
b
×
c

③正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1,則(
AB
×
AD
)•
AA1
=1
④三棱錐A-BCD中,|(
AB
×
AC
)•
AD
|的值恰好是他的體積的6倍.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:新定義,轉(zhuǎn)化思想,平面向量及應(yīng)用
分析:①由已知,(
a
×
b
)⊥
a
=0,所以(
a
×
b
)•
a
=0,故正確,
②取特例驗(yàn)證,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1,設(shè)
a
=
AB
,
b
=
AD
,
c
=
AC
.通過計(jì)算判斷,
AB
×
AD
=
A1A
A1A
AA1
夾角為180°,得出|(
AB
×
AD
)•
AA1
|=0,故錯誤
④三棱錐A-BCD的體積等于V=
1
3
S△ABC×h,利用向量投影求出h,分別計(jì)算兩邊,進(jìn)行判斷.
解答: 解:①由已知,(
a
×
b
)⊥
a
=0,所以(
a
×
b
)•
a
=0,故正確,
②如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1,設(shè)
a
=
AB
,
b
=
AD
c
=
AC

a
×
b
=
A1A
,|(
a
×
b
)×
c
|=1×
2
×sin90°=
2
,
|
b
×
c
|=1×
2
×sin45°=1,|
a
×(
b
×
c
)|=1×1×sin90°=1,
∵|(
a
×
b
)×
c
|≠|(zhì)
a
×(
b
×
c
)|,∴②錯誤
③如圖,
AB
×
AD
=
A1A
,
A1A
AA1
夾角為180°,|(
AB
×
AD
)•
AA1
|=0,則(
AB
×
AD
)•
AA1
=
0
,故錯誤
④三棱錐A-BCD中,設(shè)
m
=
AB
×
AC
,則
m
是平面ABC的一個法向量,且|
m
|=AB×AC×sinA.
設(shè)<
m
,
AD
>=θ,則|(
AB
×
AC
)•
AD
|=(AB×AC×sinA)×AD×|cosθ|,
三棱錐A-BCD底面ABC上的高h(yuǎn)=AD|cosθ|,
體積V=
1
3
S△ABC×h=
1
6
×(AB×AC×sinA)×(AD|cosθ|),
所以|(
AB
×
AC
)•
AD
|的值恰好是他的體積的6倍.故正確.
故答案為:①④.
點(diǎn)評:本題是新定義題目,需要抓住新定義中的本質(zhì)找到解題的關(guān)鍵點(diǎn),即 的方向和具體位置,根據(jù)圖形和條件作出并加以證明,還需要利用幾何知識和向量數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行求解,考查分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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2
3
在[-1,
1
2
]上的最值.

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如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=3,若
OC
=
1
2
OA
,
OD
=
1
2
OB
,AD與BC交于點(diǎn)P,則
OP
AB
=
 

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1
4
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y=2x的導(dǎo)數(shù)是( 。
A、y′=2x
B、y′=2xln2
C、y′=
2x
ln2
D、y′=
1
x

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A、鈍角三角形
B、銳角三角形
C、直角三角形
D、以上三種圖形都可能

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