Question

2．已知{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n，則5S_n-4ⁿa_n=（　�。�

• A． n-1
• B． n
• C． 2n
• D． n²

Answer 1

分析 a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），變形為：a_n+1-$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，利用等比數(shù)列通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1-$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}\}$是等比數(shù)列，首項為$\frac{4}{5}$，公比為-1．
∴a_n=$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}$+$\frac{4}{5}$×（-1）^n-1．
4^n-1a_n=$\frac{1}{5}$+（-1）^n-1×$\frac{1}{5}$×4ⁿ．
4ⁿa_n=$\frac{4}{5}$+（-1）^n-1×$\frac{{4}^{n+1}}{5}$．
∴5S_n=n-$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$=n+$\frac{4}{5}$-$\frac{（-4）^{n}}{5}$．
∴5S_n-4ⁿa_n=n．
故選：B．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．