Question

已知A、B、C是直線l上的不同的三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，向量、、滿(mǎn)足，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若，，證明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù) 表示出向量 ，再由A，B，C三點(diǎn)共線可得到關(guān)系式 ，整理即可得到答案．
（2）由，，可知a＞lnx，由（1）得，所以要證原不等式成立，只須證：，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上均單調(diào)遞增，則求出函數(shù)的最大值即可證得．
（3）將函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得 ，然后令 ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)φ（x）的最小值，再根據(jù)在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出答案．
解答：解：（1）由題意，
∵A、B、C三點(diǎn)共線，
∴
∴
（2）∵，，則a＞lnx
又由（1）得，，，則
∴要證原不等式成立，只須證：（*）
設(shè)．
∵
∴h（x）在上均單調(diào)遞增，則h（x）有最大值，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185352316580705/SYS201310241853523165807019_DA/23.png">，所以a＞h（x）在恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即，令，
∴
當(dāng)時(shí)，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）單調(diào)遞增，
∴ϕ（x）有極小值為=即在[0，1]上的最小值．
又ϕ（0）=ln2，，又-ln2=
∴l(xiāng)n5-＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根，必須使ln2．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為依托，考查向量在幾何中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用 A、B、C共線時(shí)，=λ +（1-λ） ，建立等式，同時(shí)證明不等式時(shí)利用了分離參數(shù)法，也是我們應(yīng)該掌握的方法．