Question

下列命題中，真命題是（　�。�

A．?x∈R，使得sinx+cosx=1.5

B．?x∈(0， π 2 )，使得sinx＞cosx

C．?x∈R，使得x2+x=-1

D．?x∈（0，+∞），使得ex＞1+x

Answer 1

∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，而1.5＞

2

，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈（0，

π

4

]時(shí)，sinx≤cosx，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x²+x=-1時(shí)，x²+x+1=0，但其△=1-4=-3＜0．故C不正確；
對(duì)于D：設(shè)f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，f（x）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴對(duì)x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴e^x＞x+1．故D正確；
故選D．