Question

三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直,，                   ,分別是,的中點．     

   （1）求直線MN與平面A₁B₁C所成的角；                    

   （2）在線段AC上是否存在一點E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值        為?若存在，求出AE的長，若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）90⁰；（2）存在，AE=

【解析】（1）本題適合利用空間向量求解.要知道線面角的向量求法.

（2）利用向量的方法在線段AC上的一點E，就要用到向量共線的條件，表示出E的坐標，然后根據(jù)二面角的余弦值，確定E坐標中的參數(shù)的值，進而可求出AE的長.

解：（1）如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標系B₁-XYZ

則B₁（0，0，0),C(0,2,2),A₁(2,0,0),B(0,0,2),則M(1,0,2), A(2,0,2)，(0,2,2) ,N(1,1,1)------------2分

=(0,2,2),(0,1,-1),=(2,0,0）

因為 ，且,--------4分

所以MN⊥平面A₁B₁C

 即MN與平面A₁B₁C所成的角為90⁰  ------------------5分

（2）設(shè)E（x,y，z),且=，    --------------6分

 則（x-2,y,z-2)=（-2,2,0)

解得x=2-2,y=2,z=2，=(2-2,2,2) ---------7分

由（1）可知平面的法向量為(0,1,-1)，設(shè)平面的法向量為，

則，

則可解得，     ----------------9分  

于是-------11分

由于點E在線段上，所以=，此時AE=    ----------12分