Question

某公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售進行調(diào)研，結果如圖（1）、（2）所示．其中（1）的拋物線表示的是市場的日銷售量與上市時間的關系；（2）的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關系．
（1）寫出市場的日銷售量f（t）與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關系式；
（2）第一批產(chǎn)品A上市后的第幾天，這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意設f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0求得a值即得日銷售量f（t）（2）與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關系式；
（2）先寫出銷售利潤為g（t）萬元，分類討論：當30≤t≤40時，當0＜t≤30時，分別研究它們的單調(diào)性，而t∈N，故比較g（26），g（27）即可，經(jīng)計算，g（26）＜g（27），故第一批產(chǎn)品A上市后的第27天這家公司日銷售利潤最大．

解答：解：（1）設f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0可知a=-

3

20

即f(t)=-

3

20

(t-20)2+60=-

3

20

t2+6t（0＜t≤40，t∈N）
（2）設銷售利潤為g（t）萬元，則g(t)=

2t(- 3 20 t2+6t)  (0＜t＜30) 60(- 3 20 t2+6t)  (30≤t≤40)

當30≤t≤40時，g（t）單調(diào)遞減；
當0＜t≤30時，g′(t)=-

9

10

t2+24t，易知g（t）在(0，

80

3

)單增，(

80

3

，30)單減
而t∈N，故比較g（26），g（27），經(jīng)計算，
g（26）=2839.2＜g（27）=2843.1，
故第一批產(chǎn)品A上市后的第27天這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是2843.1萬元．

點評：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個函數(shù)的最小值．