已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，且.

（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

 

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為，此時.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個不同的極值點，等價于有兩個不等的實數(shù)根，即有兩個不同的零點和，利用導數(shù)判斷的形狀， ，發(fā)現(xiàn)函數(shù)當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)，故；（Ⅱ），又，故，是自變量為，定義域的函數(shù)，利用導數(shù)求其最值，并計算相應(yīng)的值．

試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，

∴方程有兩個不同的零點，，  令，，當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)，∴ 在時取得最小值．

∴ ．

（Ⅱ）∵，即，∴，于是

， ∴，∵，∴．

∴ 當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)．

∴ 在上的最小值為，此時.

考點：1、導數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數(shù)）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實數(shù)p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數(shù)恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設(shè)H(a)=-
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[g(a)-27]，數(shù)列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年山東省青島市高三上學期期中考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，且.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年四川省高三9月月考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)和．其中．

（1）若函數(shù)與的圖像的一個公共點恰好在x軸上，求的值；w

（2）若函數(shù)與圖像相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應(yīng)的的值；如果沒有，請說明理由．

（3）若和是方程的兩根，且滿足，

證明：當時，．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高考數(shù)學二模試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數(shù)）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實數(shù)p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數(shù)恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設(shè)，數(shù)列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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