Question

已知數(shù)列{a_n}的前五項依次是．正數(shù)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且．
（I）寫出符合條件的數(shù)列{a_n}的一個通項公式；
（II）求S_n的表達式；
（III）在（I）、（II）的條件下，c₁=2，當(dāng)n≥2時，設(shè)，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，且T_n＞log_m（1-2m）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由數(shù)列的前5項可得，符合條件的數(shù)列{a_n}的一個通項公式為 ．…（2分）
（II）因為，即S_n=b_n+，2b_n＞0，所以，解得b₁=1，即S₁=1．
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，所以，，∴.，即．…（5分）
所以，，，…，，
累加可得 ．
所以，，即．…..（8分）
（III）在（I）、（II）的條件下，c₁=2．
當(dāng)n≥2時，．
當(dāng)n=1時，T₁=c₁=2；
當(dāng)n≥2時， …．（10分）
因為T_n＞log_m（1-2m）恒成立，即log_m（1-2m）恒小于T_n的最小值．
顯然，T_n的最小值在n=1時取得，且最小值為2，故有l(wèi)og_m（1-2m）＜2．…..（12分）
所以①，或②．
解①得，，不等式組②無解．
故實數(shù)m的取值范圍是…．（14分）
分析：（I）由數(shù)列的前5項的特點，總結(jié)歸納可得符合條件的數(shù)列{a_n}的一個通項公式．
（II）由S_n=b_n+，求得b₁=1，可得S₁=1．當(dāng)n≥2時，由b_n=S_n-S_n-1，得，化簡得．用累加法求得，，從而求得S_n的表達式．
（III）先求得T_n的解析式，由T_n＞log_m（1-2m）恒成立，可得log_m（1-2m）恒小于T_n的最小值，根據(jù)T_n的最小值在n=1時取得，且最小值為2．故有l(wèi)og_m（1-2m）＜2．
由此可得①，或②．分別求得①和②的解集，再取并集，即得所求．
點評：本題主要考查數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系，用累加法進行數(shù)列求和，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．