Question

已知4^x-5·2^x+4≤0，求函數(shù)y=()^x-4()^x+2的最值.

Answer 1

思路解析：根據(jù)題設(shè)4^x-5·2^x+4≤0可以求出x的取值范圍，也就是函數(shù)y=()^x-4()^x+2的定義域，用換元法再把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求出最值，但要注意換元時(shí)新元的取值范圍.

解：由已知，4^x-5·2^x+4≤0，

(2^x-1)(2^x-4)≤0,1≤2^x≤4,

∴0≤x≤2.

令t=()^x,則()²≤t≤()⁰,

即≤t≤1.

y=t²-4t+2=(t-2)²-2.

函數(shù)的圖象是開口向上，對稱軸為t=2的拋物線(如下圖所示).

∵t∈［,1］,

∴當(dāng)t=,即x=2時(shí)，函數(shù)有最大值，為y=(-2)²-2=;

當(dāng)t=1,即x=0時(shí)，函數(shù)有最小值，為y=(1-2)²-2=-1.