Question

12．已知甲、乙兩個(gè)容器，甲容器容量為x，裝滿純酒精，乙容器容量為z，其中裝有體積為y的水（x，y＜z，單位：L）．現(xiàn)將甲容器中的液體倒入乙容器中，直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿，攪拌使乙容器中兩種液體充分混合，再將乙容器中的液體倒入甲容器中直至倒?jié)M，攪拌使甲容器中液體充分混合，如此稱為一次操作，假設(shè)操作過(guò)程中溶液體積變化忽略不計(jì)．設(shè)經(jīng)過(guò)n（n∈N^*）次操作之后，乙容器中含有純酒精a_n（單位：L），下列關(guān)于數(shù)，列{a_n}的說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)x=y=a時(shí)，數(shù)列{a_n}有最大值$\frac{a}{2}$
• B． 設(shè)b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列
• C． 對(duì)任意的n∈N^*，始終有${a_n}≤\frac{xy}{z}$
• D． 對(duì)任意的n∈N^*，都有${a_n}≤\frac{xy}{x+y}$

Answer 1

分析 對(duì)x，y，z的大小關(guān)系進(jìn)行討論，得出剩余酒精濃度變化，得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于A，若x+y＞z，每次傾倒后甲容器都有剩余，故a_n＜$\frac{a}{2}$，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若x+y=z，則每次操作后乙容器所含酒精都為$\frac{x}{2}$，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若x=1，y=1，z=3，則a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{xy}{z}$=$\frac{1}{3}$，故a₁＞$\frac{xy}{z}$，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)n→+∞時(shí)，甲乙兩容器濃度趨于相等，當(dāng)x+y≤z時(shí)，a_n=$\frac{xy}{x+y}$，
當(dāng)x+y＞z時(shí)，a_n＜$\frac{xy}{x+y}$，故D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．