Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，2AB=BB₁，
過點(diǎn)B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E．
（1）求證：面A₁CB⊥平面BED；
（2）求A₁B與平面BDE所成的角的正弦值

Answer 1

分析：（1）建立坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)平面上要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造兩個(gè)向量，設(shè)出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量垂直的充要條件得到兩個(gè)平面的法向量，由于兩個(gè)平面的法向量數(shù)量積為0，得到結(jié)論．
（2）本題要求的是線面角，寫出線上的向量坐標(biāo)，根據(jù)直線上的向量與平面的法向量所成的角的余弦的絕對(duì)值等于線面角的正弦值，得到結(jié)果．

解答：解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=1
由題意知A₁（1，0，2），C（0，1，0），B（1，1，0），E（0，1，

1

2

），D（0，0，0）
∴

A1C

=（-1，1，-2），

BC

=（-1，0，0），

DE

=（0，1，

1

2

），

DB

=（1，1，0）
（1）設(shè)面A₁CB的法向量是

m

=（x，y，z），平面BED的法向量是

n

=（a，b，c）
根據(jù)法向量與平面的向量數(shù)量積是0
得到

m

=（0，2，1），

n

=（1，-1，2），
∴

m

•

n

=0，
∴面A₁CB⊥平面BED．

（2）∵

A1B

=（0，1，-2）
平面BED的法向量是

n

=（1，-1，2），
設(shè)A₁B與平面BDE所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

A1B

，

n

＞|=|

-5

5 6

|=

30

6

，
∴A₁B與平面BDE所成的角的正弦值為

30

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)高考題型，空間向量與立體幾何是近幾年高考必考的內(nèi)容，是一個(gè)送分題，題目的思維量不大，知識(shí)運(yùn)算比較麻煩，同學(xué)們解題時(shí)要細(xì)心．