如圖，橢圓數(shù)學(xué)公式的右焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．
（Ⅰ）求證：直線MN恒過定點(diǎn)T，并求出T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以AB、CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程，并判斷定點(diǎn)T與軌跡的位置關(guān)系．

解：（Ⅰ）∵F（1，0），不妨設(shè)AB的斜率存在且不為零，
設(shè)AB：y=k（x-1）
∴
∴，同理（3分）
∴MN過定點(diǎn)（），當(dāng)AB的斜率不存在或為零時
同樣MN過定點(diǎn)（），∴T（）． （7分）
（Ⅱ）以AB為直徑的圓M的方程為：
①（9分）
同理以CD為直徑的圓N的方程為：
②（11分）
①-②得公共弦直線方程為③
又MN直線方程④
由③、④消去R得兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程為：（15分）

∴點(diǎn)T在圓上．
分析：（Ⅰ）設(shè)AB：y=k（x-1），由題意知，，同理，所以MN過定點(diǎn)（），當(dāng)AB的斜率不存在或為零時同樣MN過定點(diǎn)（），所以T（）．
（Ⅱ）以AB為直徑的圓M的方程為：同理以CD為直徑的圓N的方程為：
，由此可以判斷定點(diǎn)T與軌跡的位置關(guān)系．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（06年江西卷文）（12分）

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的一動直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若在的方程中，令，．

設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和．當(dāng)為何值時，為一個正三角形？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省“十二�！备呷�2次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓上.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），過點(diǎn)F的一動直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動，
并且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a2=1+cosθ+sinθ，．
設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N．當(dāng)θ為何值時，△MNF為一個正三角形？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省南京市東山外校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分16分）

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，

（1）求到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程。

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，又直線交于點(diǎn),若，

求線段的長；

（3）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交直線于點(diǎn)，且和橢圓的一個交點(diǎn)為點(diǎn)，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出實數(shù)；若不存在，請說明理由。

 

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