【題目】已知函數(shù),.
(1)討論的單調性;
(2)若對任意,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當時,在上,是減函數(shù),當時,在上,是減函數(shù),在上,是增函數(shù);(2)
【解析】
求出函數(shù)的定義域,函數(shù)的導數(shù),通過a的范圍討論,判斷函數(shù)的單調性即可.(2)
對任意x>0,都有f(x)>0成立,轉化為在(0,+∞)上f(x)min>0,利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值即可.
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)
又
當a≤0時,在(0,+∞)上,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù)
當a>0時,由f′(x)=0得:或(舍)
所以:在上,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù)
在上,f′(x)>0,f(x)是增函數(shù)
(2)對任意x>0,都有f(x)>0成立,即:在(0,+∞)上f(x)min>0
由(1)知:當a≤0時,在(0,+∞)上f(x)是減函數(shù),
又f(1)=2a﹣2<0,不合題意
當a>0時,當時,f(x)取得極小值也是最小值,
所以:
令(a>0)
所以:
在(0,+∞)上,u′(a)>0,u(a)是增函數(shù)又u(1)=0
所以:要使得f(x)min≥0,即u(a)≥0,即a≥1,
故:a的取值范圍為[1,+∞)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=,若{bn}的前n項和為Tn,證明:Tn<.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,,,,側面是等腰直角三角形,,平面平面,點分別是棱上的點,平面平面
(Ⅰ)確定點的位置,并說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯誤的是
①命題“,有”的否定是“,都有”;
②若一個命題的逆命題為真命題,則它的否命題也一定為真命題;
③已知為假命題,則實數(shù)的取值范圍是;
④我市某校高一有學生人,高二有學生人,高三有學生人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校抽取個學生作為樣本進行某項調查,則高三被抽取的學生個數(shù)為人.
A. ①④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②
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【題目】平面上有12個點,且任意三點不共線,以其中任意一點為始點,另一點為終點作向量,且作出所有的向量.其中3邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這些點為頂點的“零三角形”個數(shù)的最大值.
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【題目】為了解使用手機是否對學生的學習有影響,某校隨機抽取100名學生,對學習成績和使用手機情況進行了調查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示(不完整):
使用手機 | 不使用手機 | 總計 | |
學習成績優(yōu)秀 | 10 | 40 | |
學習成績一般 | 30 | ||
總計 | 100 |
(Ⅰ)補充完整所給表格,并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計算是否有99.9%的把握認為學生的學習成績與使用手機有關;
(Ⅱ)現(xiàn)從上表不使用手機的學生中按學習成績是否優(yōu)秀分層抽樣選出6人,再從這6人中隨機抽取3人,記這3人中“學習成績優(yōu)秀”的人數(shù)為,試求的分布列與數(shù)學期望.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中,曲線的極坐標方程是.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)設點.若直與曲線相交于兩點,求的值.
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