Question

（2012•浦東新區(qū)二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形，直線l經(jīng)過點F₂，傾斜角為45°，與橢圓交于A，B兩點．
（1）若|F₁F₂|=2

2

，求橢圓方程；
（2）對（1）中橢圓，求△ABF₁的面積；
（3）M是橢圓上任意一點，若存在實數(shù)λ，μ，使得

OM

=λ 

OA

+μ 

OB

，試確定λ，μ的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形，|F₁F₂|=2

2

，即可求橢圓方程；
（2）△ABF₁的面積，可以以焦距長為底，A、B縱坐標差的絕對值為高進行求解；
（3）確定橢圓的右焦點F的坐標，設(shè)出直線AB所在直線方程為y=x-

2

b，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及

OM

=λ

OA

+μ

OB

，同時利用點A，B在橢圓上，即可求得λ，μ的關(guān)系式．

解答：解：（1）由已知，可得c=

2

，a=

3

b，
∵a²=b²+c²，∴a=

3

，b=1，
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=x-

2

，
代入橢圓方程

x2

3

+y2=1，消去y可得4x2-6

2

 x+3=0，
∴x1+x2=

3 2

2

，x1x2=

3

4

，|x1-x2|=

6

2

，|y1-y2|=|x1-x2|=

6

2

，
∴S△=

1

2

×2

2

×

6

2

=

3

．
（3）由已知橢圓方程為x²+3y²=3b²①，右焦點F的坐標為(

2

b ， 0)，直線AB所在直線方程為y=x-

2

b②，
由①②得：4x2-6

2

bx+3b2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

3 2

2

b，x1x2=

3b2

4

，
設(shè)M（x，y），由

OM

=λ

OA

+μ

OB

得，x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵點M在橢圓上，∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，
整理得：λ2(

x

2 1

+3

y

2 1

)+μ2(

x

2 2

+3

y

2 2

)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2，③
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2=0④，
又點A，B在橢圓上，故

x

2 1

+3

y

2 1

=3b2⑤，

x

2 2

+3

y

2 2

=3b2⑥，
將④⑤⑥代入③得λ²+μ²=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達定理是常用方法．