Question

半徑為1的球內(nèi)切于圓錐（直圓錐），已知圓錐母線與底面夾角為2θ．
（1）求證：圓錐的母線與底面半徑的和是；
（2）求證：圓錐全面積是；
（3）當(dāng)θ是什么值時(shí)，圓錐的全面積最��？

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)球心O與直圓錐底面的中心O₁作一平面與圓錐和球的截面進(jìn)而可知△SAB為等腰三角形聯(lián)OB，則∠OBO₁=θ設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，底面半徑為R，進(jìn)而可表示l和R，代入l+R中化簡(jiǎn)整理即可證明原式．
（2）把（1）中求得l和R代入圓錐的全面積=πR（l+R）中化簡(jiǎn)整理即可證明．
（3）在圓錐全面積的表達(dá)式中，因其分子為常數(shù)，所以欲使全面積最小，必須使其分母最大．進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)，全面積最小，進(jìn)而求得此時(shí)的θ．
解答：證明：（1）過(guò)球心O與直圓錐底面的中心O₁作一平面與圓錐和球的截面如圖．
因此，△SAB為等腰三角形聯(lián)OB，則∠OBO₁=θ
設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，底面半徑為R，
則l•cos2θ=R，
又，
∴，
∴
=
=
=
=．


（2）圓錐的全面積=πR（l+R）
=
=．
（3）在圓錐全面積的表達(dá)式中，
因其分子為常數(shù)，
所以欲使全面積最小，
必須使其分母最大．
．
因此，欲使tg²θ（1-tg²θ）最大，必須
，（因必為銳，所以僅取正號(hào)）
．
故當(dāng)θ取值時(shí)，圓錐的全面積最�。�
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了組合幾何體的面積和體積的問(wèn)題．涉及到三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合性很強(qiáng)．