Question

設(shè)向量a，b滿足：|a|=3，|b|=4，a•b=0．以|a|，|b|，|a+b|為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為    個．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)|a|=3，|b|=4，a•b=0．得到|a+b|的值，知道三角形是邊長為3、4、5，構(gòu)成直角三角形，和這個直角三角形內(nèi)切的圓半徑為1，此時有三個交點，圓的半徑不變，改變位置，最多有四個交點．
解答：解：∵|a|=3，|b|=4，a•b=0
可得，
設(shè)該三角形內(nèi)切圓的半徑為r，
則（4-r）+（3-r）=5⇒r=1，
∴對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時只有三個交點，
對于圓的位置稍作移動，則能實現(xiàn)4個交點，但不能得到5個以上的交點．
點評：向量是數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，作為代數(shù)的對象，向量可以運(yùn)算，而作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面切線等幾何對象．