Question

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．則稱函數(shù)f（x）為“自強(qiáng)”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2^x-1是否為“自強(qiáng)”函數(shù)？若是，則求出a，b若不是，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=

2x-1

+t是“自強(qiáng)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù) ①函數(shù)f（x）=2^x-1在R上為增函數(shù)； ②假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，滿足

f(a)=2a-1=a f(b)=2b-1=b

，則 a、b 是方程 2^x=x+1 的兩個(gè)不同的實(shí)根，求得a和b的值，可得結(jié)論．
（2）根據(jù) ①函數(shù)f（x）=

2x-1

+t 在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，②設(shè)區(qū)間[a，b]，滿足

f(a)=  2a-1 +t=a f(b)= 2b-1 +t=b

，則 a、b 是方程

2x-1

+t=x 的兩個(gè)不同的根，令m=

2x-1

≥0，可得m²-2m+1-2t=0 有兩個(gè)不同的非負(fù)實(shí)根，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得t的范圍．

解答：解（1）∵①函數(shù)f（x）=2^x-1在R上為增函數(shù)； ②假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，滿足

f(a)=2a-1=a f(b)=2b-1=b

，
∴a、b 是方程 2^x=x+1 的兩個(gè)不同的實(shí)根，a=0，b=1，
函數(shù)f（x）=2^x-1是“自強(qiáng)”函數(shù)，且 a=0，b=1．
（2）∵①函數(shù)f（x）=

2x-1

+t 在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，
②設(shè)區(qū)間[a，b]，滿足

f(a)=  2a-1 +t=a f(b)= 2b-1 +t=b

，
∴a、b 是方程

2x-1

+t=x 的兩個(gè)不同的根，且b＞a≥

1

2

．
令m=

2x-1

≥0，∴m+t=

1

2

（m²+1），
∴m²-2m+1-2t=0 有兩個(gè)不同的非負(fù)實(shí)根，
∴

△ = 4-4(1-2t)＞0 m1+m2 = 2≥0 m1•m2=1-2t≥0

，解得 0＜t≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域和值域，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．