Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的點，且．
（1）求三棱錐C-BED的體積；
（2）求證：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等體積法可得V_C-BED=V_E-BCD=，把數(shù)據(jù)代入運算．
（2）先證明BE⊥面A₁B₁C，可得 BE⊥A₁C，再由由三垂線定理可得BD⊥A₁C，得到 A₁C⊥平面BDE．
解答：解：（1）V_C-BED=V_E-BCD===．
（2）證明：長方體中，∵A₁B₁⊥面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥BE，由題意得 B₁C⊥BE，故BE 垂直于面A₁B₁C內的
兩條相交直線 A₁B₁和B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴BE⊥A₁C．
正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A₁C在底面內的射影，由三垂線定理可得BD⊥A₁C．
這樣，A₁C垂直于平面BDE內的兩條相交直線BE 和BD，故A₁C⊥平面BDE．
點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，證明BE⊥A₁C是解題的關鍵．