Question

如圖，三塊土地的總面積為30．求S₁的最大值及取得最大值時x、y的值．

Answer 1

分析：法一，由已知，S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．消去y得y=

30-x

x+2

，從而S₁=xy=

(30-x)x

x+2

=34-[（x+2）+

64

x+2

]
再利用基本不等式求最大值．
法二，由已知，S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．根據(jù)基本不等式可得，2y+x≥2

2y•x

=2

2

xy

，所以xy+2y+x=30≥xy+2

2

xy

，解關于

xy

的不等式可求出S₁的取值范圍以及最大值．

解答：解：法一∵S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．
∴y=

30-x

x+2

S₁=xy=

(30-x)x

x+2

=34-[（x+2）+

64

x+2

]
（x+2）+

64

x+2

≥2

64

=16（當且僅當x=6時取等號）
∴S₁≤34-16=18              
∴當x=6，y=3時，S₁最大為18．
法二：由已知，S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．
根據(jù)基本不等式可得，2y+x≥2

2y•x

=2

2

xy

，
所以xy+2y+x=30≥xy+2

2

xy

，
令

xy

=t（＞0），則上述不等式為t²+2

2

t-30≤0，
解得0＜t＜3

2

，∴0＜xy＜18，
當且僅當2y=x，即x=6，y=3時S₁最大為18．

點評：本題考查基本不等式的實際應用．基本不等式求最值時要注意三個原則：一正，即各項的取值為正；二定，即各項的和或積為定值；三相等，即要保證取等號的條件成立．