Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極小值；
（Ⅱ）若對任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a²-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（II）由題意可得f（x）的最大值≤2a²-1恒成立x∈[-1，2]，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
因?yàn)閍＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的極小值為f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2時(shí)，當(dāng)x∈[-1，a]時(shí)f^/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上遞增，
當(dāng)x∈[a，2]時(shí)f^/（x）＜0，f（x）在[a，2]上遞減，
所以f（x）的最大值為f（a）=

4

3

a2-1，
令

4

3

a2-1≤2a2-1?a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2時(shí)，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)f^/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上遞增，
所以f（x）的最大值為f（2）=6a²-8a+

5

3

，
令6a2-8a+

5

3

≤2a2-1?3a2-6a+2≤0?1-

6

3

＜a＜1+

6

3

，
又a＞2，所以無解．
由上可知1＜a≤2．

點(diǎn)評：本題綜合考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．