Question

已知a＞0．且a≠1，數(shù)列｛an｝是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令bn＝anlgan(n∈N*)． (1) 求數(shù)列｛bn｝的前n項的和Sn (2) 若數(shù)列｛bn｝中的每一項總小于它后面的項，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：由題設(shè)an＝a·an+1＝an，則bn＝anlgan＝anlgan＝nanlga 　　從而Sn＝alga＋2a2lga＋3a3lga＋…＋nanlga＝(1＋2a＋3a2＋…＋nan－1)alga． 　　令Tn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，則aTn＝a＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan． 　　兩式相減得(1－a)Tn＝1＋a＋a2＋…＋an+1－nan＝－nan＝． 　　因為a≠1，所以Tn＝，所以Sn＝．

(2)

設(shè)bk+1＞bk(k∈N*)，則(k＋1)ak+1lga＞kaklga．因為ak＞0，所以［k(a－1)＋a］lga＞0． 　　當a＞1時，lga＞0，由k(a－1)＋a＞0，解得k＞ 　　當0＜a＜1時，lga＜0，由k(a－1)＋a＜0，解得k＞． 　　為了使不等式對一切正整數(shù)都成立，只需要小于k的最小值1． 　　當a＞1時，＜1恒成立；當0＜a＜1時，＜1，解得0＜a＜． 　　綜上所述，a＞1或0＜a＜． 　　點評：(1)求Tn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1的和的思路為錯位相消求和．錯位相消求和的最基本的形式為數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛anbn｝的前n項的和．(2)在解不等式bk+1＞bk(k∈N*)時，首先要看成是關(guān)于k的不等式，求出k的解集k＞，因?qū)θ我夥橇阕匀粩?shù)k均成立，再 轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．