Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g(x)=

1

2

mx2（m為實數(shù)），若f（x）≥g（x）對x∈[

e

2

，

3e

2

]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求導，利用導數(shù)求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）函數(shù)定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0得x=

1

e

，
當f'（x）＜0時，x∈(0，

1

e

)，此時f（x）單調(diào)遞減；
當f′（x）＞0時，x∈(

1

e

，+∞)，此時f（x）單調(diào)遞增．…（4分）
（2）要求xInx≥

1

2

mx2，即m≤

2Inx

x

對x∈[

e

2

，

3e

2

]恒成立，
令h(x)=

2Inx

x

，則h/(x)=

2-2Inx

x2

=0時，得x=e，
當x∈[

e

2

，e]時，h′（x）≥0，當x∈[e，

3e

2

]時，h′（x）≤0

故h(x)min∈{h(

e

2

)，h(

3e

2

)}，…（9分）
而易證

h( e 2 )

h( 3e 2 )

＜1…（13分）
又m≤h（x）_min，即m≤h(

e

2

)=

4

e

In

e

2

…（14分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，對應(yīng)含參數(shù)恒成立問題，通常是將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為最值恒成立問題．