Question

已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|

OC

|²+|

AB

|²=|

OB

|²+|

.

AC

|²=|

OA

|²+|

BC

|²，則O是△ABC的（　　）

• A、內(nèi)心
• B、垂心
• C、外心
• D、重心

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量的減法分別用

OA

，

OB

，

OC

表示

BC

，

CA

，

AB

利用數(shù)量積運(yùn)算和題意代入式子進(jìn)行化簡，證出OA⊥BC，同理可得OB⊥AC，OC⊥AB，即證出O是△ABC的垂心．

解答： 解：設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，則

BC

=

c

-

a

，

CA

=

a

-

c

，

AB

=

b

-

a

．
由|

OC

|²+|

AB

|²=|

OB

|²+|

.

AC

|²=|

OA

|²+|

BC

|²，
∴|

c

|²+|

b

-

a

|²=|

b

|²+|

c

-

a

|²，化簡可得

a

•

b

=

a

•

c

，即（

b

-

c

）•

a

=0，
∴

OA

•

BC

=0∴

BC

⊥

OA

，即OA⊥BC．
同理可得OB⊥AC，OC⊥AB．
∴O是△ABC的垂心．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了向量在幾何中應(yīng)用，主要利用向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積進(jìn)行化簡證明，證明垂直主要根據(jù)題意構(gòu)造向量利用數(shù)量積為零進(jìn)行證明．