Question

有四個(gè)函數(shù)：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=（sinx+cosx）²；④y=sin²x-cos²x；其中在(0，

π

2

)上不是單調(diào)函數(shù)的是（　�。�

• A、①和④
• B、②和③
• C、①和③
• D、②和④

Answer 1

分析：利用三角恒等變換公式，分別將各項(xiàng)中的函數(shù)化簡(jiǎn)為正弦型三角函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性加以判斷，可得只有①③的函數(shù)在(0，

π

2

)上不是單調(diào)函數(shù)，從而得到本題答案．

解答：解：對(duì)于①，y=sinx+cosx=

2

（sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

）=

2

sin（x+

π

4

），
∵當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，x+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，
∴函數(shù)y=sinx+cosx在(0，

π

4

)上為增函數(shù)，在(

π

4

，

π

2

)上為減函數(shù)，
故y=sinx+cosx在(0，

π

2

)上不是單調(diào)函數(shù)；
對(duì)于②，y=sinx+cosx=

2

（sinxcos

π

4

-cosxsin

π

4

）=

2

sin（x-

π

4

），
∵當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，x-

π

4

∈(-

π

4

，

π

4

)，
∴函數(shù)y=sinx+cosx在(0，

π

2

)上為單調(diào)增函數(shù)；
對(duì)于③，y=（sinx+cosx）²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+sin2x，
∵當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，2x∈（0，π），
∴函數(shù)y=（sinx+cosx）²在(0，

π

4

)上為增函數(shù)，在(

π

4

，

π

2

)上為減函數(shù)，
故y=（sinx+cosx）²在(0，

π

2

)上不是單調(diào)函數(shù)；
對(duì)于④，y=sin²x-cos²x=-cos2x=sin（2x-

π

2

），
∵當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，2x-

π

2

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴函數(shù)y=（sinx+cosx）²在(0，

π

2

)上為單調(diào)增函數(shù)．
綜上所述，只有①③的函數(shù)在(0，

π

2

)上不是單調(diào)函數(shù)．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾個(gè)三角函數(shù)表達(dá)式，求它在區(qū)間(0，

π

2

)上是否為單調(diào)函數(shù)．著重考查了三角恒等變換、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．