有四個函數(shù)：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=（sinx+cosx）2；④y=sin2x-cos2x；其中在(0，
π
2
)上不是單調(diào)函數(shù)的是（　　）
A、①和④B、②和③
C、①和③D、②和④
分析：利用三角恒等變換公式，分別將各項中的函數(shù)化簡為正弦型三角函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性加以判斷，可得只有①③的函數(shù)在(0，
π
2
)上不是單調(diào)函數(shù)，從而得到本題答案．
解答：解：對于①，y=sinx+cosx=
2
（sinxcos
π
4
+cosxsin
π
4
）=
2
sin（x+
π
4
），
∵當(dāng)x∈(0，
π
2
)時，x+
π
4
∈(
π
4
，
3π
4
)，
∴函數(shù)y=sinx+cosx在(0，
π
4
)上為增函數(shù)，在(
π
4
，
π
2
)上為減函數(shù)，
故y=sinx+cosx在(0，
π
2
)上不是單調(diào)函數(shù)；
對于②，y=sinx+cosx=
2
（sinxcos
π
4
-cosxsin
π
4
）=
2
sin（x-
π
4
），
∵當(dāng)x∈(0，
π
2
)時，x-
π
4
∈(-
π
4
，
π
4
)，
∴函數(shù)y=sinx+cosx在(0，
π
2
)上為單調(diào)增函數(shù)；
對于③，y=（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x，
∵當(dāng)x∈(0，
π
2
)時，2x∈（0，π），
∴函數(shù)y=（sinx+cosx）2在(0，
π
4
)上為增函數(shù)，在(
π
4
，
π
2
)上為減函數(shù)，
故y=（sinx+cosx）2在(0，
π
2
)上不是單調(diào)函數(shù)；
對于④，y=sin2x-cos2x=-cos2x=sin（2x-
π
2
），
∵當(dāng)x∈(0，
π
2
)時，2x-
π
2
∈（-
π
2
，
π
2
），
∴函數(shù)y=（sinx+cosx）2在(0，
π
2
)上為單調(diào)增函數(shù)．
綜上所述，只有①③的函數(shù)在(0，
π
2
)上不是單調(diào)函數(shù)．
故選：C
點評：本題給出幾個三角函數(shù)表達(dá)式，求它在區(qū)間(0，
π
2
)上是否為單調(diào)函數(shù)．著重考查了三角恒等變換、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出四個命題：
①函數(shù)是定義域到值域的映射；       ②函數(shù) f(x)=
x-3
+
2-x
；
③函數(shù)y=2x（x∈N）的圖象是一條直線； ④函數(shù) S=
x-3
+
3-x
．
其中，正確的有
 
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xy中，O是坐標(biāo)原點，設(shè)函數(shù)f（x）=k（x-2）+3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，給出下列四個命題：
①使△AOB的面積s=6的直線l僅有一條；
②使△AOB的面積s=8的直線l僅有兩條；
③使△AOB的面積s=12的直線l僅有三條；
④使△AOB的面積s=20的直線l僅有四條．
其中所有真命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•綿陽一模）己知函數(shù)f（x）=
a
x
-1（其中a是不為0的實數(shù)），g（x）=lnx，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）在（0，3]上的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知s，t為正實數(shù)，求證：ttex≥stet（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（
2a
x2+1
）+2m的圖象與函數(shù)y=g（x2+1）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

己知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式-1（其中a是不為0的實數(shù)），g（x）=lnx，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判斷函數(shù)F（x）在（0，3]上的單調(diào)性；
（II）已知s，t為正實數(shù)，求證：ttex≥stet（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（III）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（數(shù)學(xué)公式）+2m的圖象與函數(shù)y=g（x2+1）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年四川省綿陽市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

己知函數(shù)f（x）=-1（其中a是不為0的實數(shù)），g（x）=lnx，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判斷函數(shù)F（x）在（0，3]上的單調(diào)性；
（II）已知s，t為正實數(shù)，求證：ttex≥stet（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（III）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（）+2m的圖象與函數(shù)y=g（x2+1）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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