Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對于任意正整數(shù)n，都有a_n+1=2a_n+n，則a_n=

3•2^n-1-n-1（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由a_n+1=2a_n+n，知a_n+1+（n+1）+1=2（a_n+n+1），由a₁+1+1=3，知數(shù)列{a_n+（n+1）}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，所以a_n+（n+1）=3•2^n-1，由此能求出a_n．

解答：解：∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1+（n+1）+1=2（a_n+n+1），
∴

an+1+(n+1)+1

an+n+1

=2，
∵a₁+1+1=3，
∴數(shù)列{a_n+（n+1）}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+（n+1）=3•2^n-1，
所以a_n=3•2^n-1-n-1（n∈N^*）．
故答案為：3•2^n-1-n-1（n∈N^*）．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法--配湊法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．