Question

19．已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求證：面ADE⊥面ACD；
（3）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)G，連接FG，BG，根據(jù)三角形的中位線，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進(jìn)而得到EF∥BG，再結(jié)合線面平行的判定定理，即可證明EF∥面ABC．
（2）根據(jù)△ABC為等邊三角形，G為AC的中點(diǎn)，CD⊥面ABC，得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據(jù)線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD．
（3）連接EC，可得四棱錐分為兩個(gè)三棱錐E-ABC和E-ADC，利用體積公式，即可求解三棱錐的體積．

解答 證明：（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG，BG，
∵F，G分別是 AD，AB的中點(diǎn)，∴FG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}CD=1$，
∵BE∥CD，∴FG與BE平行且相等，F(xiàn)GBE為平行四邊形，∴EF∥BG，
又EF?面ABC，BG?面ABC，∴EF∥面ABC．
（2）∵△ABC為等邊三角形，∴BG⊥AG，
又∵CD⊥面ABC，BG?面ABC，∴CD⊥BG，
∴BG⊥面ADC的兩條相交直線AC，CD，∴BG⊥面ADC，
∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（3）連接EC，該四棱錐分為兩個(gè)三棱錐E-ABC和E-ADC．
∴四棱錐A-BCDE的體積：
${V_{A-BCDE}}={V_{E-ABC}}+{V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1+\frac{1}{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}+\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平面、面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．