Question

如圖，△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P₁為線段BC的中點(diǎn)，P₂為線段CO的中點(diǎn)，P₃為線段OP₁的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,P_n+3為線段P_nP_n+1的中點(diǎn)，令P_n的坐標(biāo)為（x_n,y_n）,a_n=y_n+y_n+1+y_n+2.

(Ⅰ)求a₁,a₂,a₃及a_n;

(Ⅱ)證明y_n+4=1-,n∈N^*,

(Ⅲ)若記b_n=y_4n+4-y_4n,n∈N^*,證明{b_n}是等比數(shù)列.

Answer 1

 (Ⅰ)因?yàn)閥₁=y₂=y₄=1,y₃= ,y₅=,所以a₁=a₂=a₃=2.又由題意可知y_n+3=.

∴a_n+1=y_n+1+y_n+2+y_n+3=y_n+1+y_n+2+=y_n+y_n+1+y_n+2=a_n,∴{a_n}為常數(shù)列.∴a_n=a₁=2,n∈N^*.

(Ⅱ)將等式y_n+y_n+1+y_n+2=2兩邊除以2,得y_n+=1,又∵y_n+4=,∴y_n+4=1-.

(Ⅲ)∵b_n+1=y_4n+8-y_4n+4=-=-(y_4n+4-y_4n)=-  b_n,又∵b₁=y₈-y₄=-≠0,∴{b_n}是公比為- 的等比數(shù)列.