Question

已知A（3，

3

），O是原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）滿足條件

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，則z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍是

[-3，3]

．

Answer 1

分析：由已知，z即為

OA

在

OP

上的投影．先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用z的幾何意義求范圍．只需求出向量

OA

和

OP

的夾角的余弦值的取值范圍，從而得到z的取值范圍．

解答：解：z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|•cos∠AOP=2

3

cos∠AOP，
∵∠AOP∈[

π

6

 ， 

5π

6

]，
∴當(dāng) ∠AOP=

π

6

時(shí)，zmax=2

3

cos

π

6

=3，
當(dāng) ∠AOP=

5π

6

時(shí)，zmin=2

3

cos

5π

6

=-3，
∴z的取值范圍是[-3，3]．
故答案為：[-3，3]．

點(diǎn)評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．