Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（II）若關(guān)于x的方程，在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（III）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為函數(shù)在x=0處取極值，所以f'（0）=0求出a即可；
（Ⅱ）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得 ．然后令 ，求出導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的增減性，得到b的取值范圍；
（Ⅲ）求出f′（x）=0時x的值，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值為f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，然后取x=＞0，代入得到結(jié)論成立．
解答：解：（Ⅰ），∵x=0時，f（x）取得極值，
∴f'（0）=0，
故 ，解得a=1．經(jīng)檢驗a=1符合題意．
（Ⅱ）由a=1知 ，得 ．
令 ，
則 在[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，
等價于φ（x）=0在[0，2]上恰有兩個不同實數(shù)根． ，
當(dāng)x∈（0，1）時，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
依題意有，解可得
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域為{x|x＞1}．
由（Ⅰ）知 時，（舍去），
∴當(dāng)-1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立）．
對任意正整數(shù)n，取 得，．
即
分別取n=1，2，3，…，n得：
，
，
…
．
以上n個式子相加得：．
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，注意函數(shù)與方程的綜合運用，以及會進行不等式的證明．