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在自然數集N上定義一個函數y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．當x為奇數時，f（x+1）-f（x）=1，當x為偶數時f（x+1）-f（x）=3．
（1）求證：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N+）成等差數列．
（2）求f（x）的解析式．
（1）由
f(1)+f(2)=5
f(2)-f(1)=1
，解得f（1）=2，f（2）=3．
所以f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]=3+1=4，
所以f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N+）成等差數列，公差為4．
（2）當x為奇數時，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=
(x-1)•4
2
+2=2x，
當x為偶數時，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=
1
2
•1+
x-2
2
•3+2=2x-1
所以f（x）=
2x，x為奇數
2x-1，x為偶數
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（09年海淀區(qū)期中理）（13分）

已知函數，把函數的圖象向左平移一個單位得到函數的圖象，且是偶函數.

   （Ⅰ） 求的值；

   （Ⅱ） 設函數，求函數在區(qū)間上的最大值和最小值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

函數f(x)=
ax+b
x2+1
是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(
1
2
)=
2
5
，則a=______，b=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f(1)=0，
xf′(x)-f(x)
x2
＞0(x＞0)，則不等式x2f（x）＞0的解集是______．

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科目：高中數學 來源：廣東模擬 題型：單選題

已知a＞0，b＞0，函數f（x）=x2+（ab-a-4b）x+ab是偶函數，則f（x）的圖象與y軸交點縱坐標的最小值為（　　）
A．16B．8C．4D．2
2

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科目：高中數學 來源：即墨市模擬 題型：填空題

f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數，f（1）＜0，f（2012）=
a-1
a
，則a的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

函數f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=x3-cosx，當x＜0時，f（x）的表達式為（　�。�
A．x3+cosxB．-x3+cosxC．-x3-cosxD．x3-cosx

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設f（x）和g（x）都是定義域為R的奇函數，不等式f（x）＞0的解集為（m，n），不等式g（x）＞0的解集為（
m
2
，），其中0＜m＜
n
2
，則不等式f（x）•g（x）＞0的解集是（　�。�
A．（m，
n
2
）		B．（m，
n
2
）∪（-
n
2
，-m）
C．（
m
2
，
n
2
）∪（-n，-m）		D．（
m
2
，
n
2
）∪（-
n
2
，-
m
2
）

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科目：高中數學 來源：福建省期中題 題型：填空題

奇函數在區(qū)間[3，6]上是增函數且最大值為8， 則函數在區(qū)間[-6，-3]上的最小值為（    ）。

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