Question

甲、乙兩個(gè)箱子中裝有大小相同的小球，甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中裝有2個(gè)黑球和3個(gè)紅球，現(xiàn)從甲箱和乙箱中各取一個(gè)小球并且交換．
（1）求交換后甲箱中剛好有兩個(gè)黑球的概率．
（2）設(shè)交換后甲箱中黑球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）事件“交換后甲盒中恰有2個(gè)黑球”可以分解為①取出的兩個(gè)球都是黑球；②取出的兩個(gè)球都是紅球，因此按這兩種情況分類討論分別求出相應(yīng)的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（2）ξ的可能取值為1，2，3，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：甲乙兩盒各取一個(gè)球交換后，甲盒中恰有2個(gè)黑球有下面幾種情況：
①取出的兩個(gè)球都是黑球，則甲盒恰好有2個(gè)黑球的事件記為A₁，
則P（A₁）=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．
②取出的兩個(gè)球都是紅球，則此時(shí)甲盒中恰有2個(gè)黑球的事件記為A₂，
則P（A₂）=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

．（6分）
故P₁=P（A₁）+P（A₂）=

1

5

+

3

10

=

1

2

．
（2）ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=2）=

1

2

，
P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

∴Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

5

=

19

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了等可能事件的概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量的期望與方差等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．請(qǐng)同學(xué)們注意解題過程中事件分解的思路和公式的正確使用．