Question

已知函數(shù)（x＞0）和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求證：x₁，x₂為關(guān)于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）設(shè)|MN|=g（t），求函數(shù)g（t）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）用導(dǎo)數(shù)值與切線的斜率相等，求出切點橫坐標的關(guān)系，判斷是方程x²+2tx-t=0的兩根即可；
（2）求過切點的切線方程，找出兩切點關(guān)系，再利用兩點間的距離公式求解即可．
解答：（1）證明：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1-，切點（x，x+），
所以，，可得x²+2tx-t=0，
顯然方程的兩個根就是切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標，
所以x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）解：因為M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
又f′（x）=1-，∴切線PM的方程為：y-（x₁+）=（1-）（x-x₁）．
又∵切線PM過點P（1，0），∴有0-（x₁+）=（1-）（1-x₁）．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過點（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根
∴x₁+x₂=-2t，x₁x₂=-t
∴|MN|=（t＞0）．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．