Question

已知函數f（x）=

∫

x 1

（sint-lgt）dt（x＞1），則f（x）的極大值點的個數為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：首先利用定積分求出函數f（x），然后再求導，繪制出導函數的圖象，根據圖象得出f（x）的單調區(qū)間，和f′（x）=0的點，繼而求出函數的極值點．

解答： 解：f（x）=

∫

x 1

（sint-lgt）dt=

∫

x 1

[sint+ln10-[ln10-lgt）]dt=（-cost+ln10•t-tlgt）

|

x 1

=-cosx+ln10•x-xlnx+cos1-ln10
∴f′（x）=sinx-lgx，
繪制導函數的圖象如圖所示

由圖象可知當x在點A，B，C出sinx與lgx有交點，設交點橫坐標分別為a，b，c
則當x=a，x=b，x=c時，f′（x）=0，
當f′（x）＞0時，即在（0，a）或（b，c）函數f（x）為憎函數，
當f′（x）＜0時，即在（a，b）或（c，+∞）函數f（x）為減函數，
故在x=a或x=c時函數f（x）有極大值．
故f（x）的極大值點的個數為2個．
故選：C．

點評：本題主要考查了導數和函數的極值的問題，本題的關鍵是利用數形結合的思想，屬于中檔題．