Question

13．已知在直角梯形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，△ADC與△ABC均為等腰直角三角形，且AD=1，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D-ABC，當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為4π．

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的表面積即可．

解答 解：如圖：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連結(jié)DE，OE，
當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面DCA⊥平面ACB，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥平面ACB，
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=1，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半徑為1，
此時(shí)三棱錐外接球的表面積為4π•1²=4π．
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查折疊問(wèn)題，三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．