Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{k}x（k＞0）$圖象上相鄰的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在曲線x²+y²=k²上，則f（x）的最小正周期為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由題意，f（x）的圖象上相鄰的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在曲線x²+y²=k²上，可知最大值和最小值的距離為曲線圓的直徑．可得k的值，即可得f（x）的最小正周期．

解答 解：由題意，函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{k}x（k＞0）$，其周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{k}}=2k$．
f（x）的圖象上相鄰的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在曲線x²+y²=k²上，
可知最大值和最小值的距離為曲線圓的直徑．即2r=2k．
∵最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)的縱坐標(biāo)距離為2$\sqrt{3}$，橫坐標(biāo)距離為$\frac{1}{2}$T，
∴12+$\frac{{T}^{2}}{4}$=（2k）²，即12+k²=4k²．
∴k=2
周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{k}}=2k$=4．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．