已知△ABC的頂點(diǎn)B(-3,0)、C(3,0),E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),AB和AC邊上的中線交于G,并且|GF|+|GE|=5,則點(diǎn)G的軌跡方程為
x2
25
+
y2
16
=1(x≠±5)
x2
25
+
y2
16
=1(x≠±5)
分析:由題意得出G點(diǎn)為△ABC的重心,結(jié)合|GF|+|GE|=5,算出|GB|+|GC|=10,從而得到G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓.利用橢圓的基本量結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出橢圓方程為
x2
25
+
y2
16
=1
,結(jié)合三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為共線,可得所求點(diǎn)G的軌跡方程.
解答:解:∵△ABC的邊AB和AC邊上的中線交于G,
∴G點(diǎn)為△ABC的重心,
∵|GF|+|GE|=5,可得|GB|+|GC|=2(|GF|+|GE|)=10,
∴G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓,2a=5,c=2
可得a=5,b2=a2-c2=16
∴橢圓的方程為
x2
25
+
y2
16
=1

由三角形ABC中,A點(diǎn)不在直線BC上,可得y=
1
3
yA≠0,即x≠±5
因此,點(diǎn)G的軌跡方程為
x2
25
+
y2
16
=1(x≠±5)

故答案為:
x2
25
+
y2
16
=1(x≠±5)
;
點(diǎn)評(píng):本題給出三角形的重心滿足的條件,求點(diǎn)G的軌跡方程.著重考查了三角形重心的性質(zhì)、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓
x2
3
+y2=1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長(zhǎng)是
4
3
4
3

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x2
12
+
y2
16
=1
上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長(zhǎng)是( 。

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(2009•長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓
x2
3
+y2=1上,且BC邊經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),頂點(diǎn)A是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),則△ABC的周長(zhǎng)是
4
3
4
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓x2+3y2=3上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長(zhǎng)是( 。

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