Question

如圖在Rt△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），C(-1，

2

2

)，曲線E過(guò)C點(diǎn)且曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值．
（Ⅰ）求出曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線E與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為D、Q，是否存在斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)(0，

2

)與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，且向量

OM

+

ON

與

DQ

共線．若存在，求出此直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用題設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值，可知點(diǎn)P的及軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)l方程與橢圓方程聯(lián)立，利用l與橢圓有2個(gè)不同交點(diǎn)確定k的取值范圍，利用向量

OM

+

ON

與

DQ

共線，求出k的取值，由此即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)，|AC|=

2

2

，|AB|=2，|BC|=

3 2

2

∵點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值．
∴|PA|+|PB|=

3 2

2

+

2

2

=2

2

＞|AB|
由橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=

2

，c=1，b=

a2-c2

=1
∴曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知條件l方程為y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

消去y整理得（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0
l與橢圓有2個(gè)不同交點(diǎn)的條件為△=32k²-8（1+2k²）＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

若l與橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2= -

4 2 k

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2

2

= 

2 2

1+2k2

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
橢圓與x軸，y軸交點(diǎn)D（

2

，0），Q（0，1），

DQ

=(-

2

，1)
∵向量

OM

+

ON

與

DQ

共線
∴x1+x2=-

2

(y1+y2)
∴-

4 2 k

1+2k2

=-

2

×

2 2

1+2k2

解得k=

2

2

∉(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)
∴不存在符合題設(shè)條件的直線l．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．