Question

如圖，在四棱柱ABCD-PGFE中，側(cè)棱垂直于底面，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．

（Ⅰ）求PD與BC所成角 的大��；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）PD與BC為異面直線，要求它們所成角，只需平移其中的一條，使這兩條直線成為相交直線即可，可通過AB的中點H，連DH，去證明DH平行BC，則DH與PD所成角即為所求，再把角放入三角形中，通過解三角形，求出角的大小．
（Ⅱ）要證明BC⊥平面PAC，只需證明BC垂直平面PAC中的兩條相交直線即可，應(yīng)用勾股定理，以及線面垂直的定義，可證明BC⊥AC，BC⊥PA，因為AC，PA為平面PAC內(nèi)兩條相交直線，所以BC⊥平面PAC．
（Ⅲ）可用空間向量來求二面角的大小，先建立空間直角坐標(biāo)系，再通過求兩個平面的法向量所成角的大小，極為兩個平面所成角，或其補角．
解答：解：（Ⅰ）取AB的中點H，連DH，易證：BH∥CD，且BH=CD．
∴四邊形BHDC為平行四邊形，∴BC∥DH．
∴∠PDH為PD與BC所成角．
∵四邊形ABCD為直角梯形，且∠ABC=45°，AB=2DC=2
∴AD=1，，∠Rt△PAD，，Rt△DAH，，Rt△PAH都為等腰直角三角形．
∴PD=DH=PH=，∴∠PDH=60^°
（Ⅱ）連CH，則四邊形ADCH為矩形，∴AH=DC=1，∵AB=2，∴BH=1，
在Rt△BHC中，∠ABC=45°
∴CH=BH=1，CB=∴，AD=CH=1，AC=．∴AC²+BC²=AB²∴BC⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC．
（Ⅲ）分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立，由題設(shè)知
A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）
∴=（0，0，1），=（1，1，-1）
設(shè)=（a，b，c）為平面PAC的一個法向量．則
，即
設(shè)a=1，則b=-1，∴=（1，-1，0）
同理，設(shè)=（x，y，z）為平面PCD的一個法向量，求的=（1，0，1）
點評：本題考查了立體幾何中，異面直線所成角，二面角大小的求法，以及線面垂直的判定．