Question

已知函數(shù)f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為m（a），求m（a）的表達(dá)式；
（3）若a=4，證明：方程f（x）+=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0時(shí)，f（x）=|x|x是奇函數(shù)；
a≠0時(shí)，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-ax=（x-）²-，
函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=．
當(dāng)，即a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，
所以m（a）=f（0）=0；
當(dāng)0，即0≤a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，]上是減函數(shù)，在[，2]上是增函數(shù)，
所以m（a）=f（）=-；
當(dāng)，即a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
所以m（a）=f（2）=4-2a．
綜上，m（a）=．
（3）證明：若a=4，則x＞0時(shí)，f（x）=，方程可化為，
即．
令，h（x）=-x²+4x，
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x），h（x）在x＞0時(shí)的圖象．
因?yàn)間（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即當(dāng)x=2時(shí)，
函數(shù)h（x）圖象上的點(diǎn)在函數(shù)g（x）圖象點(diǎn)的上方．
所以函數(shù)g（x）與h（x）的圖象在第一象限有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
即方程f（x）+=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解．
分析：（1）a=0時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；a≠0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-ax=（x-）²-，函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=，利用a的不同取值進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出m（a）．
（3）若a=4，則x＞0時(shí)，f（x）=，方程可化為．令，h（x）=-x²+4x，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x），h（x）在x＞0時(shí)的圖象，數(shù)形結(jié)合能證明方程f（x）+=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)最小值的求法，證明方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類(lèi)討論法和數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用．