Question

某廠用甲、乙兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1t A產(chǎn)品，1t B產(chǎn)品分別需要的甲、乙原料數(shù)，可獲得的利潤數(shù)及該廠現(xiàn)有原料數(shù)如下表所示．問：在現(xiàn)有原料下，A、B產(chǎn)品應各生產(chǎn)多少才能使利潤總額最大？列產(chǎn)品和原料關(guān)系表如下：

所需原料 產(chǎn)品 原料	A產(chǎn)品 （1t）	B產(chǎn)品 （1t）	總原料 （t）
甲原料（t）	2	5	10
乙原料（t）	6	3	18
利潤（萬元）	4	3

Answer 1

分析：先設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，其利潤總額為z萬元，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=4x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=4x+3y過可行域內(nèi)的點時，從而得到z值即可．

解答：解析：設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，其利潤總額為z萬元，
根據(jù)題意，可得約束條件為

2x+5y≤10 6x+3y≤18 x≥0，y≥0

…（3分）
作出可行域如圖：…．（5分）
目標函數(shù)z=4x+3y，
作直線l₀：4x+3y=0，再作一組平行于l₀的直線l：4x+3y=z，當直線l經(jīng)過P點時z=4x+3y取得最大值，…．（9分）
由

2x+5y=10 6x+3y=18

，解得交點P(

5

2

，1)…．（12分）
所以有zP=4×

5

2

+3×1=13(萬元)…（13分）
所以生產(chǎn)A產(chǎn)品2.5t，B產(chǎn)品1t時，總利潤最大，為13萬元．…（14分）

點評：點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現(xiàn)實問題中．