Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x（x+a）-x²+bx，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x-2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，f′（x）=e^x（x+a+1）-2x+b，由題意可知：f（0）=a=-2，k=f′（0）=a+b+1=1，即可求得a和b的值；
（2）由（1）可知：f（x）=e^x（x+1）-x²+2x，求導(dǎo)，f′（x）=（e^x-2）（x-1），令f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即可求得函數(shù)極值．

解答 解：（1）由f（x）=e^x（x+a）-x²+bx，
求導(dǎo)，f′（x）=e^x（x+a+1）-2x+b，
由已知可得f（0）=a=-2，
由k=0，
∴f′（0）=a+b+1=1，解得a=-2，b=2．（4分）
（2）由（1）可知：f（x）=e^x（x+1）-x²+2x，
求導(dǎo)f′（x）=（e^x-2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜ln2或x＞1，
令f′（x）＜0，解得ln2＜x＜1，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，ln2）與（1，+∞），
減區(qū)間為（ln2，1），
∴f（x）的極大值為f（ln2）=-（2-ln2）²，
極小值為f（1）=-e+1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與曲線切線方程的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查計算能力，屬于中檔題．