Question

已知函數(shù)f（x）=|log_a|1-x||（a＞0，a≠1），若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，可得x₁+x₄=1，x₂+x₃+=1．再由log_ax₁=-log_ax₂，log_ax₃=-log_ax₄，求得x₁x₂=x₃x₄=1，從而求得

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=

x1+x2

x1x2

+

x3+x4

x3x4

 的值．

解答：解：設(shè)g（x）=|log_a|x||，則g（x）為偶函數(shù)，
圖象關(guān)于y軸對稱，
而函數(shù)f（x）=|log_a|1-x||是把g（x）的圖象向右平移
一個單位得到的，
故g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁+x₄=1，x₂+x₃+=1．
再由函數(shù)f（x）的圖象特征可得，log_ax₁=-log_ax₂，
log_ax₃=-log_ax₄，
∴x₁x₂=x₃x₄=1，
∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=

x1+x2

x1x2

+

x3+x4

x3x4

=1+1=2，
故答案為：2．

點評：本題考查函數(shù)零點和方程根的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．