Question

有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12.求這四個數(shù).

   

Answer 1

思路分析：本題根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念,利用等差數(shù)列、等比數(shù)列中的對稱性質(zhì)設(shè)出這四個數(shù),以減少運算量.

    解法一:設(shè)這四個數(shù)依次為a-d,a,a+d,,

    由條件得

    解得或

∴當(dāng)a=4,d=4時,所求四個數(shù)為0,4,8,16;

    當(dāng)a=9,d=-6時,所求四個數(shù)為15,9,3,1.

    故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

    解法二:設(shè)這四個數(shù)依次為-a,,a,aq(a≠0),

    由條件得

    解得或

∴當(dāng)q=2,a=8時,所求四個數(shù)為0,4,8,16;

    當(dāng)q=,a=3時,所求四個數(shù)為15,9,3,1.

    故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

    解法三:設(shè)這四個數(shù)依次為x,y,12-y,16-x,

    由已知得

    解得或

    故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

    思維啟示：(1)等比數(shù)列的“對稱設(shè)項”方法為:當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時,先設(shè)中間一個數(shù)為a,再以公比為q向兩邊對稱地依次設(shè)項即可,如三個數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,a,aq;當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)且公比大于0時,先設(shè)中間兩個數(shù)為和aq,再以公比為q²向兩邊對稱地依次地設(shè)項即可,如四個數(shù)成等比數(shù)列可設(shè)為,,aq,aq³,六個數(shù)成等比數(shù)列可設(shè)為,,,aq,aq³,aq⁵.

(2)對稱設(shè)項法的好處在于它具有對稱性,特別是當(dāng)已知數(shù)列的積時,利用對稱設(shè)項法可很快地求出a,從而進一步減少了未知數(shù)的個數(shù).