已知函數(shù)f(x)=
13
ax3-x2+2，x∈R．
（Ⅰ）若a=3，求曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的x∈[-1，2]，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．
分析：（Ⅰ）確定切點的坐標，求導函數(shù)，確定切線的斜率，即可得到切線方程；
（Ⅱ）求導函數(shù)，再分類討論：（1）a=0時，不符合題意；（2）a≠0時，f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或
2
a
，確定函數(shù)的最值，結合f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）a=3時，f（x）=x3-x2+2，f（2）=6，f'（x）=3x2-2x，f'（2）=8，
∴切線方程為：y=8x-10
（Ⅱ）f'（x）=x（ax-2），
（1）a=0時，f'（x）=-2x，f（2）=-2＜0，不符合題意，所以a≠0；
（2）f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或
2
a
，
當0＜
2
a
≤2，即a≥1時，
x -1 （-1，0） 0 (0，
2
a
)
2
a
 (
2
a
，2)		 2
f'（x） + 0 _ 0 +
f（x）
3-a
3
 增 極大值2 減 極小值
2(3a2-2)
3a2
 增
2(4a-3)
3
由a≥1得，f(
2
a
)=
2(3a2-2)
3a2
＞0．
∴只需f(-1)=
3-a
3
＞0且f(2)=
2(4a-3)
3
＞0，解得1≤a＜3
（3）
2
a
＞2，即0＜a＜1時，
x -1 （-1，0） 0 （0，2） 2
f'（x） + 0 _
f（x）
3-a
3
 增 極大值2 減
2(4a-3)
3
0＜a＜1時，f(-1)=
3-a
3
＞0，只需f(2)=
2(4a-3)
3
＞0，解得
3
4
＜a＜1
（4）a＜0時，f(2)=
2(4a-3)
3
＜0，不符合題意．
綜上，
3
4
＜a＜3．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學思想，考查恒成立問題，正確求導，合理分類是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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