Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)上的點(diǎn)m，如圖1；將線(xiàn)段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3．圖3中直線(xiàn)AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是

 

．（填出所有正確命題的序號(hào)）
①方程f（x）=0的解是x=

1

2

；       
②f(

1

4

)=1；      
③f（x）是奇函數(shù)；                      
④f（x）在定義域上單調(diào)遞增；       
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對(duì)稱(chēng)．

Answer 1

考點(diǎn)：映射

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)于①，當(dāng)f（x）=0，即N（0，0），點(diǎn)M為圓與y軸的交點(diǎn)，
對(duì)于②，求出圓的半徑r=

1

2π

，求出M(-

1

2π

，1-

1

2π

)，求出對(duì)應(yīng)直線(xiàn)AM的方程，求出N的坐標(biāo)
對(duì)于③，∵m∈（0，1），∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴非奇非偶函數(shù)，
對(duì)于④，m由0增大到1，M由A運(yùn)動(dòng)到B，此時(shí)N由x軸的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
對(duì)于⑤，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對(duì)稱(chēng)．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)f（x）=0，即n=0，∴N（0，0），
∴點(diǎn)M為圓與y軸的交點(diǎn)，
∴m=

1

2

，
∴①正確；
對(duì)于②，∵AB=1，∴圓的周長(zhǎng)=1，∴2πr=1∴r=

1

2π

∴圓心（0，1-

1

2π

），當(dāng)m=

1

4

時(shí)，此時(shí)M在左圓心的中點(diǎn)上，此時(shí)M(-

1

2π

，1-

1

2π

)，
對(duì)應(yīng)直線(xiàn)AM的方程為y=x+1，當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1，
∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵m∈（0，1），∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴非奇非偶函數(shù)，
∴錯(cuò)誤；
對(duì)于④，m由0增大到1，M由A運(yùn)動(dòng)到B，此時(shí)N由x軸的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∴正確；
對(duì)于⑤，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對(duì)稱(chēng)．
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題是一定新定義題，正確閱讀理解題意是解決該題的關(guān)鍵，屬于一道好題．