Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2010年進(jìn)行一系列的促銷(xiāo)活動(dòng)。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)售量x萬(wàn)件與年消費(fèi)量用t萬(wàn)元之間滿足：3-x與t+1成反比例。如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件。又2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要投資32萬(wàn)元。當(dāng)將化妝品的售價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所占促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷(xiāo)量相等。
（1）試用促銷(xiāo)費(fèi)用t表示年銷(xiāo)售量x；
（2）將2010年的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；
（3）該企業(yè)2010年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）由題意，得，
且當(dāng)時(shí)，，所以k=2，
即。
（2）當(dāng)年銷(xiāo)量x萬(wàn)件時(shí)，成本為3+32x（萬(wàn)元），
化妝品的售價(jià)為（萬(wàn)元/萬(wàn)件），
所以年利潤(rùn)（萬(wàn)元），
把代入整理，
得，其中。
（3）將去分母，
整理得到，
該關(guān)于t的方程在上有解，
當(dāng)即時(shí)，必有一解；
當(dāng)時(shí)，該關(guān)于t的方程必須有兩正根，
所以，
解得：，
綜上，年利潤(rùn)最大為42萬(wàn)元，此時(shí)促銷(xiāo)費(fèi)t=7（萬(wàn)元）。