Question

（2011•南通三模）定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|．若函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，則c=

1或2

．

Answer 1

分析：由已知中定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|．我們可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，進而根據(jù)三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構造關于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|．
當1≤x＜2時，2≤2x＜4，
則f(x)=

1

c

f(2x)=

1

c

(1-|2x-3|)，
此時當x=

3

2

時，函數(shù)取極大值

1

c

當2≤x≤4時，
f（x）=1-|x-3|；
此時當x=3時，函數(shù)取極大值1
當4＜x≤8時，2＜

x

2

≤4，
則f(x)=cf(

x

2

)=c(1-|

x

2

-3|)，
此時當x=6時，函數(shù)取極大值c
∵函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，
即點(

3

2

，

1

c

)，(3，1)，(6，c)共線，
∴

1- 1 c

3 2

=

c-1

3

解得c=1或2．
故答案：1或2

點評：本題考查的知識點是三點共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，是解答本題的關鍵．