Question

在半徑為R的球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱的底面半徑和高為何值時(shí)，它的側(cè)面積最大？并求此最大值．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱的底面半徑為r，通過h²+4r²=4R²，利用基本不等式推出rh≤R²，求出S_側(cè)=2πrh≤2πR²，得到結(jié)果．
解答：解  如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱的底面半徑為r，則h²+4r²=4R²
因?yàn)閔²+4r²≥4rh，當(dāng)且僅當(dāng)h=2r時(shí)取等．所以4R²≥4rh，即rh≤R²
所以，S_側(cè)=2πrh≤2πR²，當(dāng)且僅當(dāng)h=2r時(shí)取等．
又因?yàn)閔²+4r²=4R²，所以，時(shí)取等
綜上，當(dāng)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為時(shí)，它的側(cè)面積最大，為2πR²
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接幾何體的表面積的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．