Question

已知A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點C、D是橢圓上兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，求直線CD的斜率．

Answer 1

（1）由橢圓定義知2a=4，所以a=2，
即橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1所以b²=

4

3

，橢圓方程為：

x2

4

+

3y2

4

=1
（2）由題意知，AC的傾斜角不為90⁰，故設(shè)AC方程為y=k（x-1）十1，
聯(lián)立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

消去y，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．
∵點A（1，1）、C在橢圓上，∴x_C=

3k2-6k-1

3k2+1

∵AC、AD直線傾斜角互補，∴AD的方程為y=-k（x-l）+1，
同理x_D=

3k2+6k-1

3k2+1

又y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
∴y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k．
∴

yc-yd

xc-xd

=

1

3

．