本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34
．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a為參數(shù)），點(diǎn)Q極坐標(biāo)為（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范圍．
分析：（1）①設(shè)矩陣A的逆矩陣B=
ab
cd
，由
ab
cd
12
34
=
a+3b2a+4b
c+3d2c+4d
=
10
01
，求出B．
②由題意可得 
x′′
y′′
=
-21
3
2
-
1
2
x′
y′
=
-2x+y′
3
2
x-
1
2
y′
，且x′-y′=0．化簡（-2x+y）-（
3
2
x-
y
2
）=0，可得直線l的方程．
（2）（Ⅰ）把圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程為 （x-1）2+（y+1）2=4，再化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）先求得點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（
2
，-
2
），由于圓心C的坐標(biāo)為（1-1），求得CQ=
6
，可得PQ的最小值為CQ-r，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）（I）由絕對值的意義可得，|x-3|+|x-4|的最小值為1，結(jié)合題意可得故a＞1，從而求得a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，利用柯西不等式得 （x+y+z）2≤25，可得x+y+z的取值范圍．
解答：解：（1）①∵已知矩陣A=[
12
34
]，設(shè)矩陣A的逆矩陣B=
ab
cd
，
則有
ab
cd
 
12
34
=
a+3b2a+4b
c+3d2c+4d
=
10
01
．
∴
a+3b=1
2a+4b=0
c+3d=0
2c+4d=1
，解得 
a=-2
b=1
c=
3
2
d=-
1
2
，故A的逆矩陣B=
-21
3
2
-
1
2
．
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x，即x-y=0，
則
x′′
y′′
=
-21
3
2
-
1
2
 
x′
y′
=
-2x+y′
3
2
x-
1
2
y′
，且x′-y′=0．
∴（-2x+y）-（
3
2
x-
y
2
）=0，即 7x-3y=0，∴直線l的方程為 7x-3y=0．
（2）（Ⅰ）∵圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
，化為直角坐標(biāo)方程為 （x-1）2+（y+1）2=4．
再化為極坐標(biāo)方程為 （ρcosθ-1）2+（ρsinθ+1）2=4．
（Ⅱ）∵點(diǎn)Q極坐標(biāo)為（2，
7
4
π），故點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（
2
，-
2
）．
由于圓心C的坐標(biāo)為（1-1），且CQ=
(
2
-1)2+(-
2
+1)2
=
6
，點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn)，
故PQ的最小值為 CQ-r=
6
-1．
（3）（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，而由絕對值的意義可得，|x-3|+|x-4|的最小值為1，
故a＞1，故a的取值范圍為（1，+∞）．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，利用柯西不等式得
（16+5+4）×（
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
）≥（x+y+z）2，
∴（x+y+z）2≤25，
即-5≤x+y+z≤5，故x+y+z的取值范圍為[-5，5]．
點(diǎn)評：本題考查逆變換與逆矩陣，絕對值不等式的解法，柯西不等式的應(yīng)用，參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、以及直角坐標(biāo)方程間的互化，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，請考生任選2題作答．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所對應(yīng)的變換TM把直線L：2x-y=3變換為自身，求實數(shù)a，b，并求M的逆矩陣．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程：
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)）和圓C的極坐標(biāo)方程：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
①將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
②判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實數(shù)x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（Ⅰ）選修4-2：矩陣與變換，
已知矩陣A=
01
a0
，矩陣B=
02
b0
，直線l1：x-y+4=0經(jīng)矩陣A所對應(yīng)的變換得直線l2，直線l2又經(jīng)矩陣B所對應(yīng)的變換得到直線l3：x+y+4=0，求直線l2的方程．
（Ⅱ）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程，
求直線
x=-2+2t
y=-2t
被曲線
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦長．
（Ⅲ）選修4-5：不等式選講，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）已知矩陣M=
12
21
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計算M100β．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長．
（3）已知a＞0，求證：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

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